Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AA'=2, đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam giác đều cạnh 4. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của B'C',C'D',DD' và Q thuộc cạnh BC sao cho QC=3QB...

* Hướng dẫn giải

Từ Q kẻ \(QI\bot B'C',\) từ P kẻ PH//QM, kéo dài MN cắt đường thẳng A'D' tại K, như hình vẽ.

Theo giả thiết ABC là tam giác đều cạnh 4 suy ra: \({{S}_{\Delta ABC}}=4\sqrt{3}.\)

Dễ thấy \(\Delta QIM\backsim \Delta PD'H\) nên \(\frac{IM}{D'H}=\frac{QI}{PD'}=2\Rightarrow D'H=\frac{1}{2}IM=\frac{1}{8}B'C'=\frac{1}{8}A'D'.\)

Mà \(D'K=\frac{1}{2}A'D'\) suy ra

\(KH=D'K-D'H=\frac{3}{8}A'D'\Rightarrow {{S}_{\Delta MNH}}=\frac{1}{2}{{S}_{\Delta MKH}}=\frac{1}{2}.\frac{3}{8}{{S}_{\Delta MD'A'}}=\frac{3}{16}{{S}_{\Delta MD'A}}=\frac{3}{16}{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.\)

Vậy \({{V}_{QMNP}}={{V}_{QMNH}}=\frac{1}{3}QI.{{S}_{\Delta MNH}}=\frac{1}{3}.2.\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\)