Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ -1;5 \right]\) có đồ thị của \(y=f'\left( x \right)\) được cho như hình bên dưới Hàm số \(g\left( x \r...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(g'\left( x \right)=-2f'\left( x \right)+2x-4.\)

\(g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=x-2.\)

Vẽ đường thẳng \(y=x-2\) và đồ thị \(y=f'\left( x \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ ta được hình sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy: \(f'\left( x \right) = x - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = a\left( {a \in \left( {1;2} \right)} \right)\\ x = 3\\ x = b\left( {b \in \left( {4;5} \right)} \right) \end{array} \right.\).

Để hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến khi và chỉ khi \(g'\left( x \right)>0\Leftrightarrow -2f'\left( x \right)+2x-4>0\Leftrightarrow f'\left( x \right)<x-2.\)

Nhìn đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right)<x-2,\forall x\in \left( a;3 \right)\) và \(x\in \left( b;5 \right)\Rightarrow g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( 2;3 \right).\)