Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{3}-2{{x}^{2}}+3x+1\) song song với đường thẳng \(y=3x+1\) có phương trình là

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y'={{x}^{2}}-4x+3.\)

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho với \({{y}_{0}}=\frac{x_{0}^{3}}{3}-2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+1.\)

Do tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) song song với đường thẳng \(y=3x+1\) nên ta có:

\(y'\left( {{x_0}} \right) = 3 \Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1\\ {x_0} = 4 \Rightarrow {y_0} = \frac{7}{3} \end{array} \right..\)

- Tại điểm \(M\left( 0;1 \right)\) phương trình tiếp tuyến là: \(y-1=3\left( x-0 \right)\Leftrightarrow y=3x+1.\)

- Tại điểm \(M\left( 4;\frac{7}{3} \right)\) phương trình tiếp tuyến là: \(y-\frac{7}{3}=3\left( x-4 \right)\Leftrightarrow y=3x-\frac{29}{3}.\)

Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x+1\) song song với đường thẳng \(y=3x+1\) có phương trình là \(y=3x-\frac{29}{3}.\)