Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3x\) có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình \(\left| {{x}^{3}}-3x \right|={{m}^{2}}+m\) có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

* Hướng dẫn giải

Số nghiệm của phương trình \(\left| {{x}^{3}}-3x \right|={{m}^{2}}+m\) là số giao điểm của đồ thị \(y=\left| {{x}^{3}}-3x \right|\) và đường thẳng \(y={{m}^{2}}+m.\)

Cách vẽ đồ thị hàm số \(y=\left| {{x}^{3}}-3x \right|\) từ đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3x\) là: Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số \(y={{x}^{3}}-3x\) nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị của hàm số \(y={{x}^{3}}-3x\) nằm phía dưới trục hoành rồi xóa bỏ phần đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3x\) nằm phía dưới trục hoành:

Phương trình \(\left| {{x}^{3}}-3x \right|={{m}^{2}}+m\) có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} {m^2} + m > 0\\ {m^2} + m < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > 0\\ m < - 1 \end{array} \right.\\ - 2 < m < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < m < 1\\ - 2 < m < - 1 \end{array} \right..\)