Cho \(n\in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=1023.\) Tìm hệ số của \({{x}^{2}}\) trong khai triển \({{\left[ \left( 12-n \right)x+1 \right]}^{n}}\) thành đa...

* Hướng dẫn giải

Từ khai triển \({{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+...+C_{n}^{n}{{x}^{n}}.\)

Cho \(x=1\) ta được \({{\left( 1+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{2}=1+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}\)

Mà \(C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=1023\) nên \({{2}^{n}}=1024\Leftrightarrow n=10.\)

Bài toán trở thành tìm hệ số của \({{x}^{2}}\) trong khai triển \({{\left( 2x+1 \right)}^{10}}\) thành đa thức.

Số hạng tổng quát trong khai triển \({{\left( 2x+1 \right)}^{10}}\) là \(C_{10}^{k}{{\left( 2x \right)}^{k}}=C_{10}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}\)

Từ yêu cầu bài toàn suy ra k=2.

Vậy hệ số của \({{x}^{2}}\) trong khai triển \({{\left( 2x+1 \right)}^{10}}\) thành đa thức là \(C_{10}^{2}{{2}^{2}}=180.\)