Biết rằng đồ thị hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}m{{x}^{2}}+x-2\) có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuôn...

* Hướng dẫn giải

\(f\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}m{{x}^{2}}+x-2.\)

\(f'\left( x \right)={{x}^{2}}-mx+1.\)

\(f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx+1=0\left( 1 \right)\)

Để hàm số có 2 điểm cực trị \(\Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow \Delta = {m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 2\\ m > 2 \end{array} \right..\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{{m + \sqrt {{m^2} - 4} }}{2}\\ {x_2} = \frac{{m - \sqrt {{m^2} - 4} }}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| {{x_1}} \right| = \frac{{\left| {m + \sqrt {{m^2} - 4} } \right|}}{2}\\ \left| {{x_2}} \right| = \frac{{\left| {m - \sqrt {{m^2} - 4} } \right|}}{2} \end{array} \right.\)

Ta có: \({\left| {{x_1}} \right|^2} + {\left| {{x_2}} \right|^2} = {\sqrt 7 ^2} \Leftrightarrow {\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4} } \right)^2} + {\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4} } \right)^2} = 7 \Leftrightarrow {m^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = - 3 \end{array} \right..\)