Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ Hàm số \(y=f\left( 1-x \right)+\frac{{{x}^{2}}}{2}-x\) nghịch biến trên khoảng

* Hướng dẫn giải

Đặt \(g\left( x \right)=f\left( 1-x \right)+\frac{{{x}^{2}}}{2}-x\)

\(g'\left( x \right)=-f'\left( 1-x \right)+x-1\)

\(g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( 1-x \right)=-1\left( 1-x \right)\)

Xét phương trình \(f'\left( x \right)=-x.\) Từ đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) ta có các nghiệm của phương trình này là \(x=-3,x=-1,x=3.\)

Do đó, phương trình \(f'\left( 1-x \right)=-\left( 1-x \right)\) tương đương với

\(\left[ \begin{array}{l} 1 - x = - 3\\ 1 - x = - 1\\ 1 - x = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = 2\\ x = - 2 \end{array} \right.\)

Từ đó ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;\frac{3}{2} \right).\)