Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại \(A,AB=AC=2a,\) hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) trùng với trung điểm H của cạn...

* Hướng dẫn giải

Dựng hình bình hành ACBE.

Ta có \(BC//AE\Rightarrow BC//\left( SAE \right)\Rightarrow d\left( BC,SA \right)=d\left( BC,\left( SAE \right) \right)=2d\left( H,\left( SAE \right) \right).\)

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE,AM,K là hình chiếu của H trên \(SN.\)

\(\Delta ABE\) vuông cân tại \(B\Rightarrow BM\bot AE\Rightarrow HN\bot AE.\) Mà \(SH\bot AE\Rightarrow HK\bot AE.\)

Mặt khác \(HK\bot SN\Rightarrow HK\bot \left( SAE \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SAE \right) \right)=HK.\)

Ta có \(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{N}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{a}{\sqrt{3}}.\) Do đó \(d\left( BC,SA \right)=\frac{2a}{\sqrt{3}}.\)