Cho hàm số \(y=\left| x+\sqrt{16-{{x}^{2}}} \right|+a\) có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là \(m,M,\) Biết \(m+M={{a}^{2}}.\) Tìm tích \(P\) tất cả giá trị \(a\) thỏa mãn đề...

* Hướng dẫn giải

Xét \(g\left( x \right)=x+\sqrt{16-{{x}^{2}}}\)

TXĐ: \(D=\left[ -4;4 \right],g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ -4;4 \right].\)

Ta có: \(g'\left( x \right)=1-\frac{2x}{2\sqrt{16-{{x}^{2}}}}=1-\frac{x}{\sqrt{16-{{x}^{2}}}}\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {16 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ 16 - {x^2} = {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Khi đó: \(\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=4\sqrt{2};\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=-4\)

Từ đó ta được: \(\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=4\sqrt{2}+a;\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=a\)

Khi đó: \(m+M={{a}^{2}}\Leftrightarrow 4\sqrt{2}+a+a={{a}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a-4\sqrt{2}=0\Rightarrow P=-4\sqrt{2}\) nên chọn đáp án C.