Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a.\) Gọi \(M;N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC.\) Biết góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\) ta có \(SO\bot \left( ABCD \right)\)

Gọi \(I\) là trung điểm của OA

 \(\Rightarrow MI//SO\Rightarrow MI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( MN,\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( MN,\left( ABCD \right) \right)=\angle MNI={{60}^{0}}\)

Xét \(\Delta NCI\) có \(CN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2};CI=\frac{3}{4}AC=\frac{3\sqrt{2}}{4}a;\angle NCI={{45}^{0}}\)

Suy ra \(NI=\sqrt{C{{N}^{2}}+C{{I}^{2}}-2CN.CI.\cos C}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{18{{a}^{2}}}{16}-2.\frac{a}{2}.\frac{3\sqrt{2}}{4}.a.\cos {{45}^{0}}}=a\frac{\sqrt{10}}{4}.\)

\(MI=NI.\tan {{60}^{0}}=a\frac{\sqrt{30}}{4}\Rightarrow SO=a\frac{\sqrt{30}}{2}.\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l} BC//\left( {SAD} \right)\\ DM \subset \left( {SAD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow d\left( {BC,DM} \right) = d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAD} \right)} \right) = 2h.\)

Xét tứ diện \(\left( SAOD \right)\) có \(SO;OA;OD\) đôi một vuông góc

Nên ta có: \(\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{D}^{2}}}=\frac{2}{15{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}=\frac{62}{15{{a}^{2}}}\Rightarrow h=a\sqrt{\frac{15}{62}}\)

Do đó \(d\left( BC,DM \right)=2h=2a\sqrt{\frac{15}{62}}=a\sqrt{\frac{30}{31}}\)