Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({{\left( x-\frac{2}{x} \right)}^{n}},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) biết \)C_{n}^{1}-2.2.C_{n}^{2}+{{3.2}^{2}}.C_{n}^{3}-{{4.2}^{3}}.C_{n...

* Hướng dẫn giải

Xét khai triển:

\({{\left( 1-x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( -x \right)}^{k}}}\)

\(=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}.x+C_{n}^{2}.{{x}^{2}}-C_{n}^{3}.{{x}^{3}}+...+{{\left( -1 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}.C_{n}^{k}+...+C_{n}^{2}.{{\left( -x \right)}^{n}}\)

Lấy đạo hàm cả hai vế ta được:

\(-n{{\left( 1-x \right)}^{n-1}}=-C_{n}^{1}+2.C_{n}^{2}.x-3.{{x}^{2}}.C_{n}^{3}+...+{{\left( -1 \right)}^{k}}.k.{{x}^{k-1}}.C_{n}^{k}+...-C_{n}^{n}.n.{{\left( -x \right)}^{n-1}}\)

\(\Rightarrow n{{\left( 1-x \right)}^{n-1}}=C_{n}^{1}-2.x.C_{n}^{2}+3.{{x}^{2}}.C_{n}^{3}-...-{{\left( -1 \right)}^{k}}.k.{{x}^{k-1}}.C_{n}^{k}-...+C_{n}^{n}.n.{{\left( -x \right)}^{n-1}}\)

Cho \(x=2\) ta được

\(n.{{\left( -1 \right)}^{n-1}}=C_{n}^{1}-2.2.C_{n}^{2}+{{3.2}^{2}}.C_{n}^{3}-{{4.2}^{3}}.C_{n}^{4}+{{5.2}^{4}}.C_{n}^{5}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}.n{{.2}^{n-1}}.C_{n}^{n}\)

\(\Leftrightarrow n.{{\left( -1 \right)}^{n-1}}=-2022\Leftrightarrow n=2022\)

Xét khai triển: \({{\left( x-\frac{2}{x} \right)}^{2020}}=\sum\limits_{k=0}^{2022}{C_{2022}^{k}.{{x}^{2022-k}}.{{\left( \frac{-2}{x} \right)}^{k}}}\)

\(=\sum\limits_{k=0}^{2022}{C_{2022}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{2022-2k}}}\)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với: \(2022-2k=0\)

\(\Leftrightarrow k=1011\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) là: \(-C_{2022}^{1011}{{.2}^{1011}}\)