Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật. Biết \(AB=a\sqrt{2},AD=2a,SA\bot \left( ABCD \right)\) và \(SA=a\sqrt{2}.\) Góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\) bằng

* Hướng dẫn giải

Vì \(AB//CD\) nên \(\left( \widehat{SC;AB} \right)=\left( \widehat{SC;CD} \right)=\widehat{SCD}.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot AD\\ CD \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot SD\)

\(\Rightarrow \Delta SCD\) vuông tại D.

Trong tam giác vuông \(SAD\) có

\(SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{6}.\)

Trong tam giác vuông \(SCD\) có

\(\tan \widehat{SCD}=\frac{SD}{CD}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCD}={{60}^{0}}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\) bằng \({{60}^{0}}.\)