Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB=AC=5a;BC=6a.\) Các mặt bên tạo với đáy góc \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\)

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( ABC \right).\) Các điểm \(M,N,P\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên các cạnh \(AB,AC,BC.\)

Khi đó ta có: \(\widehat{SMH}=\widehat{SNH}=\widehat{SPH}={{60}^{0}},\) suy ra: \(HM=HN=HP\) hay \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\)

Xé tam giác \(ABC\) ta có:

Nửa chu vi: \(p=\frac{AB+BC+CA}{2}=\frac{5a+5a+6a}{2}=8a.\)

Diện tích: \({{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=\sqrt{8a.3a.3a.2a}=12{{a}^{2}}.\)

Áp dụng công thức \(S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{12{{a}^{2}}}{8a}=\frac{3a}{2}.\)

Suy ra: \(HM=r=\frac{3a}{2},SH=HM.\tan {{60}^{0}}=\frac{3a}{2}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}a}{2}.\)

Vậy \({{V}_{ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\frac{1}{3}.12{{a}^{2}}.\frac{3\sqrt{3}a}{2}=6\sqrt{3}{{a}^{3}}.\)