Cho biết đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}}\) có 3 điểm cực trị \(A,B,C\) cùng với điểm \(D\left( 0;-3 \right)\) là 4 đỉnh của một hình thoi. Gọi \(S\) là...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}}\) có 3 điểm cực trị A, B, C.

\(y'=4{{x}^{3}}-4m=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)\) có 3 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow m>0\)

Không làm mất tính tổng quát giả sử:

\(A\left( 0;{{m}^{4}}-2{{m}^{2}} \right);B\left( \sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right);C\left( -\sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right);\)

Gọi \(I=AD\cap BC\left( A,D\in Oy \right)\)

\(I\) là trung điểm của \(BC\Rightarrow I\left( 0;{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right)\)

\(I\) là trung điểm của \(AD\Rightarrow I\left( 0;\frac{{{m}^{4}}-2{{m}^{2}}-3}{2} \right)\)

Đồng nhất ta có: \(\frac{{{m^4} - 2{m^2} - 3}}{2} = {m^4} - 3{m^2} \Leftrightarrow {m^4} - 4{m^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \pm 1\\ m = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Kết hợp với đk ta có \(m=1,m=\sqrt{3}\Rightarrow S=1+\sqrt{3}\)

Vậy \(S\in \left( 2;4 \right).\)