Cho \(f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}-\frac{1}{2}x+2020\) và \(h\left( x \right)=f\left( 3\sin x \right).\) Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ \frac{\pi }{6};6\pi \right]\) của...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(f'\left( x \right)=\frac{x-1}{\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2}}-\frac{1}{2},h'\left( x \right)=3\cos x.f'\left( 3\sin x \right).\)

Phương trình: \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ f'\left( {3\sin x} \right) = 0{\rm{ }}\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right).\)

Với \(x \in \left[ {\frac{\pi }{6};6\pi } \right],\) suy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \in Z\\ \frac{\pi }{6} \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 6\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \in Z\\ - \frac{1}{3} \le k \le \frac{{11}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}.\)

Trên đoạn \(\left[ \frac{\pi }{6};6\pi  \right]\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có 6 nghiệm.

\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow f'\left( 3\sin x \right)=0\Leftrightarrow \frac{3\sin x-1}{\sqrt{{{\left( 3\sin x-1 \right)}^{2}}+2}}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow 2\left( 3\sin x-1 \right)=\sqrt{{{\left( 3\sin x-1 \right)}^{2}}+2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin x > \frac{1}{3}\\ 4{\left( {3\sin x - 1} \right)^2} = {\left( {3\sin x - 1} \right)^2} + 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin x > \frac{1}{3}\\ {\left( {3\sin x - 1} \right)^2} = \frac{2}{3} \end{array} \right.\)       

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin x > \frac{1}{3}\\ \sin x = \frac{{3 \pm \sqrt 6 }}{9} \end{array} \right. \Rightarrow \sin x = \frac{{3 + \sqrt 6 }}{9}\left( { \approx 0.605} \right)\)

Mặt khác: \(\sin x=\frac{3+\sqrt{6}}{9}>\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}\) nên:

+) Trên \(\left[ \frac{\pi }{6};6\pi  \right]\) thì phương trình \(\sin x=\frac{3+\sqrt{6}}{9}\) cho hai nghiệm.

+) Trên mỗi chu kỳ \(2\pi \) thì phương trình \(\sin x=\frac{3+\sqrt{6}}{9}\) cũng cho hai nghiệm.

Suy ra trên \(\left[ \frac{\pi }{6};6\pi  \right]\) thì phương trình (2) cho 6 nghiệm.

Vậy trên \(\left[ \frac{\pi }{6};6\pi  \right]\) thì phương trình \)h'\left( x \right)=0\) cho 12 nghiệm.