Cho hàm số \(f\left( x \right).\) Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên dưới. ​ Hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 3-4x \right)-8{{x}^{2}}+12x+2020\) nghịch biến...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(g'\left( x \right)=-4f'\left( 3-4x \right)-16x+12=-4\left[ f'\left( 3-4x \right)+4x-3 \right]\)

           \(g'\left( x \right)<0\Leftrightarrow f'\left( 3-4x \right)+4x-3>0\Leftrightarrow f'\left( 3-4x \right)>3-4x\left( * \right)\)

Đặt \(t=3-4x\) ta có \(\left( * \right)\) trở thành: \(f'\left( t \right)>t.\)

Từ đồ thị trên ta có: \(f'\left( t \right) > t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < t < 2\\ t > 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < 3 - 4x < 2\\ 3 - 4x > 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{4} < x < \frac{5}{4}\\ x < - \frac{1}{4} \end{array} \right..\)

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( \frac{1}{4};\frac{5}{4} \right).\)