Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 1, gọi \(M\) là trung điểm \(AD\) và \(N\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(BN=2NC.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(CD\) là

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H\) là trung điểm \(CD.\)

\(E,F\) lần lượt là điểm trên \(BD,BC\) sao cho \(BE=\frac{1}{3}BC,BF=\frac{1}{3}BD.\)

\(K\) là giao điểm của \(BH\) và \(EF.\) Kẻ \(GL\) vuông góc với \(AK\)

\(\left\{ \begin{array}{l} NP//CD\\ NP \subset \left( {MNP} \right) \end{array} \right. \Rightarrow CD//\left( {MNP} \right).\)

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {MNP} \right)//\left( {AEF} \right)\\ BK = KG = GH \end{array} \right.\) nên \(d\left( G;\left( AEF \right) \right)=d\left( \left( AEF \right),\left( MNP \right) \right)=d\left( H,\left( MNP \right) \right).\)

\(d\left( CD,\left( MNP \right) \right)=d\left( H,\left( MNP \right) \right)=d\left( G,\left( AEF \right) \right)=GL.\)

Ta có GA là chiều cao của khối chóp đều nên \(GA=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)

\(GK=\frac{1}{3}BH=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}.\)

Trong tam giác \(AGK\) vuông tại \(G\) có \(GL=\sqrt{\frac{G{{A}^{2}}.G{{K}^{2}}}{G{{A}^{2}}+G{{K}^{2}}}}=\frac{\sqrt{6}}{9}\).