Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a,SO\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) và \(SO=a.\) Khoảng cách giữa \(SC\) và \(AB\) bằng:

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD,\) khi đó \(OM\bot CD\) tại \(M.\)

Trong mặt phẳng \(\left( SOM \right)\) kẻ \(OH\bot SM\) tại \(H.\)

Ta có \(AB//CD\Rightarrow AB//\left( SCD \right).\)

Khi đó \(d\left( AB,SC \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=2d\left( O,\left( SCD \right) \right).\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l} OM \bot CD\\ SO \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot OH.\)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l} OH \bot CD\\ OH \bot SM \end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH.\)

Xét tam giác \(SOM\) có \(\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{4}{{{a}^{2}}}=\frac{5}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{5}}{5}.\)

Vậy \(d\left( AB,SC \right)=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.\)