Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x}\) tại điểm \(x=1\) là \(y'\left( 1 \right)=a\ln 2+b,\left( a,b\in \mathbb{Z} \right).\) Tính \(a-b.\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y'=\frac{\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}.x-\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}}=\frac{2{{x}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}\)

\( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = \frac{{2 - \ln 2}}{2} = 1 - \ln 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = 1 \end{array} \right. \Rightarrow a - b = - 2.\)