Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({{5}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{5}^{{{\cos }^{2}}x}}=2\sqrt{5}\) trên đoạn \(\left[ 0;2\pi \right].\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \({{5}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{5}^{{{\cos }^{2}}x}}\ge 2\sqrt{{{5}^{{{\sin }^{2}}x}}{{.5}^{{{\cos }^{2}}x}}}\Leftrightarrow {{5}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{5}^{{{\cos }^{2}}x}}\ge 2\sqrt{{{5}^{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}}}=2\sqrt{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({{5}^{{{\sin }^{2}}x}}={{5}^{{{\cos }^{2}}x}}\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x={{\cos }^{2}}x\)

\(\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.\)

Mà \(x\in \left[ 0;2\pi  \right]\) nên \(x\in \left\{ \frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{4};\frac{7\pi }{4} \right\}\)

Khi đó \(T=\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}+\frac{5\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}=4\pi .\)