Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh bên bằng \(2a,\) góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích của khối nón có đỉnh là \(S\) và đáy là đường tròn ngo...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( ABC \right).\) Suy ra \(SH\) là đường cao của hình chóp.

\(AH\) là hình chiếu của \(SA\) lên \(\left( ABC \right).\) Do đó góc giữa cạnh bên \(SA\) và \(\left( ABC \right)\) là góc \(\widehat{SAH}={{60}^{0}}.\)

Nên \(h=SH=\sin {{60}^{0}},SA=\frac{\sqrt{3}}{2}.2a=a\sqrt{3}\)

Vì \(SA=SB=SC\) nên \(HA=HB=HC=R\)

Suy ra \(H\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)

Bán kính \(R=\cos {{60}^{0}}.SA=2a.\frac{1}{2}=a.\)

Thể tích khối nón có đỉnh là \(S\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là

\(V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{a}^{2}}a\sqrt{3}=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.\)