Cho tứ diện đều \(ABCD,M\) là trung điểm của \(BC. \) Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng \(\frac{\sqrt{3}}{6}?\)

* Hướng dẫn giải

Đặt các cạnh của hình tứ diện là 1 thì ta có: \(AM=DM=\frac{\sqrt{3}}{2},\)

Suy ra \(\cos \widehat{AMD}=\frac{A{{M}^{2}}+D{{M}^{2}}-A{{D}^{2}}}{2AM.DM}=\frac{1}{3};\cos \widehat{ADM}=\frac{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}-A{{M}^{2}}}{2.AD.DM}=\frac{\sqrt{3}}{3};\)

\(\widehat{BAM}={{30}^{0}};\)

Lấy \(N\) là trung điểm của \(AC\) thì ta có \(\left( AB,DM \right)=\left( MN,DM \right),\) và \(\cos \widehat{DMN}=\frac{M{{N}^{2}}+M{{D}^{2}}-N{{D}^{2}}}{2.MN.MD}=\frac{\sqrt{3}}{6}.\)