Gọi \(\left( S \right)\) là tập hợp các giá trị nguyên \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\left| 3{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+24x-m \right|\) có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử c...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+24x-m.\)

Ta có số điểm cực trị của hàm số

\(y=\left| 3{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+24x-m \right|\) bằng \(a+b.\)

Với \(a\) là số điểm cực trị của hàm \(g\left( x \right)\) và \(b\) là số nghiệm đơn (bội lẻ) của phương trình \(g\left( x \right)=0.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+24x-m\) ta có

\(g'\left( x \right)=12{{x}^{3}}-24{{x}^{2}}-12x+24=12\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)\) suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.

Xét phương trình

\(g\left( x \right)=0\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+24x-m=0\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+24x=m.\) Đồ thị hàm số \(y=\left| g\left( x \right) \right|\) có 7 điểm cực trị khi phương trình \(g\left( x \right)=0\) có đúng 4 nghiệm phân biệt tương đương với hai đồ thị hàm số \(y=3{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+24x\) và \(y=m\) có 4 giao điểm phân biệt.

Từ bảng biến thiên ta có phương trình \(g\left( x \right)=0\) có 4 nghiệm phân biệt khi \)8<m<13.\)

Mà \(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m\in \left\{ 9,10,11,12 \right\}.\)

Vậy tổng các giá trị của tham số \(m\) là \(S=9+10+11+12=42.\)