Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) hình vuông cạnh \(a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB\) mà \(SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\)

Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(ABCD\)

Dựng \(Ix//SH\) khi đó \(Ix\) là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy \(ABCD\)

Do tam giác \(SAB\) đều nên trọng tâm \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(SAB\)

Dựng \(Gy\bot \left( SAB \right)\), \(Gy//HI\), khi đó \(Gy\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAB\)

Khi đó \(Ix\cap Gy=O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) và \(R=SO=\sqrt{G{{O}^{2}}+G{{S}^{2}}}\)

Ta có: \(GO=\frac{a}{2},SG=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{3}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}\)