Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO=2MI.\) Khi đó côsin góc tạo b...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(F,P,Q\) lần lượt là trung điểm \(AB,C'D',BD\)

Do \(\left. \begin{array}{l} C'D' \bot IP\\ C'D' \bot OI \end{array} \right\} \Rightarrow CD' \bot \left( {FMP} \right),\left( {FMP} \right) \equiv \left( {OIP} \right)\)

Kẻ \(NM//C'D'(N \in AA'D'D) \Rightarrow NM \bot \left( {FMP} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} NM \bot MP\\ NM \bot MF \end{array} \right.\)

Do đó góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( MC'D' \right)\) và \(\left( MAB \right)\) bằng góc \({{180}^{0}}-\widehat{FMP}\)

Đặt độ dài cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là a.

Ta có: \(MI=\frac{a}{6},IP=\frac{a}{2},FP=AD'=a\sqrt{2}.\)

Áp dụng pitago cho tam giác vuông \(MIP:MP=\sqrt{M{{I}^{2}}+P{{I}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{6}\)

Ta có: \(MQ=\frac{5a}{6},QF=\frac{a}{2}\), áp dụng pitago cho tam giác vuông

      \(MQF:MF=\sqrt{M{{Q}^{2}}+Q{{F}^{2}}}=\frac{a\sqrt{34}}{6}\)

Áp dụng định lí hàm số côsin cho tam giác \(MFP\)

      \(\cos \widehat{FMP}=\frac{M{{F}^{2}}+M{{P}^{2}}-F{{P}^{2}}}{2MF.MP}=-\frac{7\sqrt{85}}{85}\)

Vậy côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( MC'D' \right)\) và \(\left( MAB \right)\) bằng \(\frac{7\sqrt{85}}{85}.\)