Cho đa giác lồi \({{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{20}}.\) Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giá...

* Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh từ các đỉnh của đa giác sẽ tạo ra một tam giác và số tam giác là \(n\left( \Omega  \right)=C_{20}^{3}.\)

Gọi \(A\) là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.

Ta có mỗi tam giác thuộc \(\Omega \) thì có một trong 4 trường hợp sau:

TH1: Cả 3 cạnh của tam giác là các cạnh của đa giác, trường hợp này không có tam giác nào.

TH2: Chỉ có 2 cạnh của tam giác là cạnh của đa giác, khi đó đỉnh chung của 2 cạnh này sẽ là đỉnh của đa giác ban đầu, trường hợp này có 20 tam giác.

TH3: Chỉ có 1 cạnh của tam giác là cạnh của đa giác khi đó ứng với mỗi cạnh bất ký của đa giác thì sẽ có 16 tam giác thỏa mãn, vậy trường hợp này sẽ có 20x16 = 320 tam giác.

TH4: Không có cạnh nào của tam giác là cạnh của đa giác, khi đó tất cả các cạnh của tam giác đều là các đường chéo của đa giác.

Từ đây ta có \(n\left( A \right)=n\left( \Omega  \right)-20-320=800\) tam giác.

Vậy xác suất để chọn được 3 đỉnh tạo thành tam giác không có cạnh nào của đa giác đã cho là \(P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}=\frac{40}{57}.\)