Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,A'C'.P\) là điểm trên các cạnh \(BB'\) sao cho \(PB=2PB'.\) Thể tích k...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AA'\) và \(CN;J\) là giao điểm của \(A'B'\) và \(IB\) suy ra \(I\) đối xứng với \(A\) qua \(A'\) và \(J\) là trung điểm của \(IB.\)

Gọi \(K\) là giao điểm của  \(AA'\) và \(PM\) suy ra \(AK=BP\)

\(\Delta OBP\sim \Delta OIK\Rightarrow \frac{OB}{OI}=\frac{BP}{IK}=\frac{\frac{2}{3}AA'}{\frac{8}{3}AA'}=\frac{1}{4}\Rightarrow OI=4OB\Rightarrow d\left( I,\left( MPC \right) \right)=4d\left( B;\left( MPC \right) \right)\)

\({{V}_{CMNP}}=\frac{1}{3}d\left( N,\left( MPC \right) \right).{{S}_{\Delta MPC}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( I,\left( MPC \right) \right).{{S}_{\Delta MPC}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.4d\left( B,\left( MPC \right) \right).{{S}_{\Delta MPC}}=2{{V}_{PMBC}}\)

\({{V}_{PMBC}}=\frac{1}{3}d\left( P,\left( MBC \right) \right).{{S}_{MBC}}=\frac{1}{3}.\frac{2}{3}d\left( B',\left( MBC \right) \right).\frac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{V}{9}\)

\(\Rightarrow {{V}_{CMNP}}=\frac{2}{9}V\)