Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+5 \right)x-2{{m}^{2}}+14\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục \(Ox?\)

* Hướng dẫn giải

Yêu cầu bài toán tương đương đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+5 \right)x-2{{m}^{2}}+14\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+5 \right)x-2{{m}^{2}}+14=0\) có 3 nghiệm phân biệt.

+) \({{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+5 \right)x-2{{m}^{2}}+14=0\)

\(\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ \left( x-7 \right)\left( x+1 \right)-{{m}^{2}} \right]=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ {x^2} - 6x - 7 + {m^2} = 0\left( 1 \right) \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(\left( x\ne 2 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = 9 + 7 - {m^2} > 0\\ {2^2} - 6.2 - 7 + {m^2} \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < m < 4\\ m \ne \pm \sqrt {15} \end{array} \right. \Rightarrow m \in \left[ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right].\)