Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông và \(AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2},M\) là trung điểm \(BC. \) Tính khoảng cách \(d\) của hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C. \)

* Hướng dẫn giải

Ta có \(AB=BC=a\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B.\)

Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và \({{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{2}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}\) (đvtt).

Gọi \(E\) là trung điểm \(BB'.\) Khi đó \(B'C//EM\Rightarrow B'C//\left( AME \right).\)

Vậy \(d\left( AM,B'C \right)=d\left( \left( AME \right),B'C \right)=d\left( C,\left( AME \right) \right)=d\left( A,\left( AME \right) \right).\)

Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( AME \right).\)

Ta nhận thấy tứ diện \(B.AME\) có \(BE,BM,BA\) đôi một vuông góc.

Khi đó \(\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{B{{M}^{2}}}+\frac{1}{B{{E}^{2}}}+\frac{1}{B{{A}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{7}{{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{7}}{7}.\)