Cho hai số thực \(x,y\) thay đổi thỏa mãn điều kiện \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2.\) Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(P=2\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \righ...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(P=2\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)-3xy=2\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy \right)-3xy=2\left( x+y \right)\left( 2-xy \right)-3xy.\)

Đặt \(t=x+y\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy\Rightarrow {{t}^{2}}=2+2xy\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-2}{2}=xy.\)

Do \({{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4xy\Leftrightarrow {{t}^{2}}\ge 2\left( {{t}^{2}}-2 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}\le 4\Leftrightarrow -2\le t\le 2.\)

Suy ra \(P=2t\left( 2-\frac{{{t}^{2}}-2}{2} \right)-\frac{3\left( {{t}^{2}}-2 \right)}{2}=-{{t}^{3}}-\frac{3}{2}{{t}^{2}}+6t+3=f\left( t \right)\) với \(t\in \left[ -2;2 \right].\)

Khi đó: \(f'\left( t \right) = - 3{t^2} - 3t + 6;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} - 3t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 2 \end{array} \right..\)

Suy ra \(f(-2)=-7,f(1)=\frac{13}{2},f(2)=1\Rightarrow M=\frac{13}{2};m=-7\Rightarrow M+m=-\frac{1}{2}.\)