Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y=3{{\cos }^{4}}x+\frac{3}{2}{{\sin }^{2}}x+m\cos x-\frac{5}{2}\) đồng biến trên \(\left( \frac{3}{2};\frac{2\pi }{3} \rig...

* Hướng dẫn giải

\(y=3{{\cos }^{4}}x+\frac{3}{2}{{\sin }^{2}}x+m\cos x-\frac{5}{2}\Leftrightarrow y=3{{\cos }^{4}}x-\frac{3}{2}{{\cos }^{2}}x+m\cos x-1\)

Đặt \(t=\cos x.\) Vì \(x\in \left( \frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3} \right]\) nên \(t\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right).\)

Hàm số trở thành \(f\left( t \right)=3{{t}^{4}}-\frac{3}{2}{{t}^{2}}+mt-1,f'\left( t \right)=12{{t}^{3}}-3t+m\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow f'\left( t \right)\le 0,\forall t\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)(f'\left( t \right)=0\) chỉ tại một số điểm) \(\Leftrightarrow 12{{t}^{3}}-3t+m\le 0\text{ }\forall t\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow m\le -12{{t}^{3}}+3t\text{ }\forall t\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)\)

Đặt \(g\left( t \right) = - 12{t^3} + 3t,g'\left( t \right) = - 36{t^2} + 3,g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\\ t = - \frac{{\sqrt 3 }}{6} \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \end{array} \right.\)

Ta có

Dựa vào bảng biến thiên \(m\le -\frac{\sqrt{3}}{3}.\)