Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn [-10;10] của m để hàm số \(y={{x}^{3}}-3(2m+1){{x}^{2}}+(12m+5)x+2\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty )\). Số phần tử của S...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5.\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty  \right)\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right).\)

\(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+2m+5\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right).\Leftrightarrow \frac{3{{x}^{2}}-6x+5}{x-1}\ge 12m,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right).\)

Xét \(f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-6x+5}{x-1}\) trên \(\left( 2;+\infty  \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-6x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.\) Ta có BBT:

Vậy \(12m\le 5\Leftrightarrow m\le \frac{5}{12}\Rightarrow S=\left\{ -10;-9;-8;...;0 \right\}.\) Do đó số phần tử của \(S\) bằng 11.