Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a.\) Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( A'BC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right).\) Tính \(\tan \alpha...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AM\\ BC \bot A'A \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot A'M.\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\ BC \bot AM,BC \bot A'M \end{array} \right. \Rightarrow \alpha = \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {AM;A'M} \right) = \widehat {A'MA}.\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Suy ra: \(\tan \alpha =\tan \widehat{A'MA}=\frac{AA'}{AM}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.\)