Cho tam diện vuông \(O.ABC\) có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là \(R\) và \(r.\) Khi đó tỉ số \(\frac{R}{r}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{x+\sqrt{y}}{2}.\) T...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(OA=a,OB=b,OC=c.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\) dựng trục đường tròn \(\Delta \) ngoại tiếp tam giác \(OBC,\) trên mặt phẳng \(\left( OAM \right),\) kẻ đường trung trực của đoạn \(OA\) cắt \(\Delta \) tại \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(O.ABC.\)

+) \(OM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}},R=\sqrt{M{{I}^{2}}+O{{M}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\)

+) Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC,\) suy ra:

\(\left\{ \begin{align} & BC\bot AH \\ & BC\bot AO \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( OAH \right)\Rightarrow BC\bot OH.\)

\(\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\Rightarrow OH=\frac{bc}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\Rightarrow AH=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{{{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}}\)

Suy ra \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}.\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}.\)

+) Gọi J là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp \(O.ABC.\)

Khi đó: \(d\left( J;\left( OAB \right) \right)=d\left( J;\left( OBC \right) \right)=d\left( J;\left( OAC \right) \right)=d\left( J;\left( ABC \right) \right)=r.\)

\({{V}_{O.ABC}}={{V}_{J.ABC}}+{{V}_{J.OBC}}+{{V}_{J.AOC}}+{{V}_{J.ABO}}\Leftrightarrow \frac{1}{6}abc=\frac{1}{3}r\left( {{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta OBC}}+{{S}_{\Delta AOC}}+{{S}_{\Delta ABO}} \right)\)

      \(\Leftrightarrow \frac{1}{2}abc=r\left( \frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+\frac{1}{2}\left( ab+bc+ca \right) \right).\)

      \(\Leftrightarrow \frac{1}{r}=\frac{1}{abc}\left( \sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+ab+bc+ca \right).\)

Suy ra: \(\frac{R}{r}=\frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+ab+bc+ca \right)\)

                 \(\ge \frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}\left( \sqrt{3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}.{{a}^{2}}{{c}^{2}}.{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}+3\sqrt[3]{ab.bc.ca} \right)\)

                 \(=\frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{3}.\sqrt[3]{abc}\left( \sqrt{3}.\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}} \right)=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{27}}{2}.\)

Vậy \(P=a+b=30.\) Dấu “=” xảy ra khi \(a=b=c\).