Tổng các giá trị nguyên âm của \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}+mx-\frac{1}{5{{x}^{5}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\)?

* Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{{{x}^{6}}}.\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\) khi \(3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right).\)

                                                   \(\Leftrightarrow -m\le 3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}},\forall x\in \left( 0;+\infty  \right).\)

                                                   \(\Leftrightarrow -m\le \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right).\)

Với \(g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}.\) Ta có: \(g'\left( x \right)=6x-\frac{6}{{{x}^{7}}};\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - \frac{6}{{{x^7}}} \Leftrightarrow x - \frac{1}{{{x^7}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left( {0; + \infty } \right)\\ x = - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right) \end{array} \right..\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: \(-m\le 4\Leftrightarrow m\ge -4.\)

Suy ra: \(m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}.\) Vậy tổng \(-4-3-2-1=-10.\)