Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình \({{16}^{x}}-{{2.12}^{x}}+\left( m-2 \right){{.9}^{x}}=0\) có nghiệm dương?

* Hướng dẫn giải

\({{16}^{x}}-{{2.12}^{x}}+\left( m-2 \right){{.9}^{x}}=0\Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2x}}-2.{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{x}}+\left( m-2 \right)=0\left( 1 \right).\)

Đặt \({{\left( \frac{4}{3} \right)}^{x}}=t;t>0\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({{t}^{2}}-2t+m-2=0\text{ }\left( 2 \right).\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm lớn hơn 1.

\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+2t+2=m.\)

Số nghiệm phương trình \(\left( 2 \right)\) là số giao điểm của đồ thị \(y=-{{t}^{2}}+2t+2\) và đường thẳng \(y=m.\)

Ta có bảng biến thiên \(y=-{{t}^{2}}+2t+2:\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ khi \(m<3.\)

Vậy có 2 số nguyên dương \(m\) thỏa mãn