Hàm số\(f\left( x \right)\)liên tục trên \(\left[ 0;\pi \right]\) và : \(f(\pi -x)=f(x)\ \forall x\in [0;\pi ]\ ,\ \int\limits_{0}^{\pi }{f(x)dx}=\frac{\pi }{2}\) . Tính \(I=\int...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=\pi -x\Rightarrow dt=-dx.\ \)

\(x=0\Rightarrow t=\pi ,\ x=\pi \Rightarrow t=0\)

\(I=-\int\limits_{\pi }^{0}{(\pi -t)f(\pi -t)dt}\)

\(=\int\limits_{0}^{\pi }{(\pi -t)f(t)dt}\)

\(=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{f(x)dx}-\int\limits_{0}^{\pi }{xf(x)dx}\)

\(\Rightarrow I=\pi .\frac{\pi }{2}-I\Rightarrow I=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}.\)