Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left( {{x}^{2}}-m-1 \right)\); \(y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m+1 \\ \end{align} \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \(\Leftrightarrow \)\(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1\).

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

\(A\left( 0;{{m}^{2}} \right),\text{ }B\left( \sqrt{m+1};-2m-1 \right)\) và \(C\left( -\sqrt{m+1};-2m-1 \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m+1};-2m-1-{{m}^{2}} \right)\) và \(\overrightarrow{AC}=\left( -\sqrt{m+1};-2m-1-{{m}^{2}} \right)\).

Ycbt \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow - \left( {m + 1} \right) + {\left( {m + 1} \right)^4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1(L)\\ m = 0(N) \end{array} \right..\)