Cho phương trình \(m{{.2}^{{{x}^{2}}-5x+6}}+{{2}^{1-{{x}^{2}}}}={{2.2}^{6-5x}}+m\) với \(m\) là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình có đúng ba nghiệ...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(m{{.2}^{{{x}^{2}}-5x+6}}+{{2}^{1-{{x}^{2}}}}={{2.2}^{6-5x}}+m\Leftrightarrow m{{.2}^{{{x}^{2}}-5x+6}}+{{2}^{1-{{x}^{2}}}}={{2}^{7-5x}}+m\)

\(\Leftrightarrow m\left( {{2}^{{{x}^{2}}-5x+6}}-1 \right)+{{2}^{1-{{x}^{2}}}}\left( 1-{{2}^{{{x}^{2}}-5x+6}} \right)=0\Leftrightarrow \left( {{2}^{{{x}^{2}}-5x+6}}-1 \right)\left( m-{{2}^{1-{{x}^{2}}}} \right)=0.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^{{x^2} - 5x + 6}} - 1 = 0\\ {2^{1 - {x^2}}} = m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 3\\ {2^{1 - {x^2}}} = m{\rm{ }}\left( * \right) \end{array} \right..\)

Yêu cầu bài toán tương đương với

TH1: Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất \(\left( x=0 \right)\), suy ra \(m=2.\)

TH2: Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là 2 và nghiệm còn lại khác 3\(\xrightarrow{{}}m={{2}^{-3}}.\)

TH3: Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là 3 và nghiệm còn lại khác \(2\xrightarrow{{}}m={{2}^{-8}}.\)

Vậy có tất cả ba giá trị \(m\) thỏa mãn.