Cho hai số thực b và c \(\left( c>0 \right)\). Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\). Tìm điều kiện của b và...

* Hướng dẫn giải

Hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\) là hai số phức liên hợp với nhau nên hai điểm A, B sẽ đối xứng nhau qua trục Ox.

Do đó, tam giác OAB cân tại O.

Vậy tam giác OAB vuông tại O.

Để ba điểm O, A, B tạo thành tam giác thì hai điểm A, B không nằm trên trục tung, trục hoành. Tức là nếu đặt \(z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ y \ne 0 \end{array} \right.\left( * \right)\)

Để phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện \(\left( * \right)\) thì \({{b}^{2}}-c<0\).

\({{z}^{2}}+2bz+c=0\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}+c-{{b}^{2}}=0\)

\(\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}={{b}^{2}}-c\Leftrightarrow z=-b\pm i\sqrt{c-{{b}^{2}}}\)

Đặt \(A\left( -b;\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)\) và \(B\left( -b;-\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)\)

Theo đề ta có:

\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-c+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}=c\)