Cho x, y>0 thỏa mãn \(\log \left( x+2y \right)=\log \left( x \right)+\log \left( y \right)\). Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{{{x}^{2}}}{1+2y}+\frac{4{{y}^{2}}}{1+...

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 0, y > 0.

Ta có: \(\log \left( {x + 2y} \right) = \log \left( x \right) + \log \left( y \right) \Rightarrow \log \left( {x + 2y} \right) = \log \left( {x.y} \right) \Rightarrow x + 2y = xy\,\,\,(*)\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel , ta có: \(P = \frac{{{x^2}}}{{1 + 2y}} + \frac{{{{\left( {2y} \right)}^2}}}{{1 + x}} \ge \frac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{2 + x + 2y}}\).

Theo AM-GM, ta có: \(x + 2y \ge 2\sqrt {x.2y} \mathop  = \limits^{(1)} 2\sqrt {2\left( {x + 2y} \right)}  \Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} \ge 8\left( {x + 2y} \right)\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 2y \le 0\,\,\,({\rm{L}})\\ x + 2y \ge 8\,\,\,({\rm{N}}) \end{array} \right.\) (do điều kiện x > 0, y > 0). Suy ra \({x + 2y \ge 8}\).

Đặt \(t = x + 2y \ge 8\), ta có: \(P \ge \frac{{{t^2}}}{{t + 2}} = t - 2 + \frac{4}{{t + 2}}\).

\( \Leftrightarrow P \ge \underbrace {\frac{1}{{25}}\left( {t + 2} \right) + \frac{4}{{t + 2}}}_{AM - GM} + \underbrace {\frac{{24}}{{25}}t}_{ \ge \frac{{24}}{{25}}.8} - \frac{{52}}{{25}} \ge 2\sqrt {\frac{4}{{25}}} + \frac{{24}}{{25}}.8 - \frac{{52}}{{25}} = \frac{{32}}{5}\)

Do vậy \({P_{\min }} = \frac{{32}}{5}\).

Dấu đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{{1 + 2y}} = \frac{{2y}}{{1 + x}}\\ \underbrace {x + 2y}_t = 8;\,\,\frac{1}{{25}}\left( {t + 2} \right) = \frac{4}{{t + 2}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{8 - 2y}}{{1 + 2y}} = \frac{{2y}}{{1 + 8 - 2y}}\\ x = 8 - 2y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ y = 2 \end{array} \right..\)