Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình \(f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)=1\) có bao nhiêu nghiệm?

* Hướng dẫn giải

Dựa vào mối tương giao giữa các đồ thị hàm số ta có:

.\(f\left( {{f^2}\left( x \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {f^2}\left( x \right) = a \in \left( { - 2; - 1} \right){\rm{ vo nghiem}}\\ {f^2}\left( x \right) = 0\\ {f^2}\left( x \right) = b \in \left( {1;2} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = 0\\ f\left( x \right) = \sqrt b \in \left( {1;\sqrt 2 } \right)\\ f\left( x \right) = - \sqrt b \in \left( { - \sqrt 2 ; - 1} \right) \end{array} \right.\)

+ Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \(f\left( x \right)=\sqrt{b}\) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \(f\left( x \right)=-\sqrt{b}\) có 1 nghiệm.

Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm trên không trùng nhau. Vậy phương trình có 7 nghiệm phân biệt.