Cho tứ diện \(ABCD\) cạnh \(a. \) Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(BM=2MC. \) Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\) và \(ABD\). Mặt phẳng \(\left( IJM...

* Hướng dẫn giải

Vì \(\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3},\) suy ra \(IM//AC.\) Kéo dài \(MI\) cắt \(AB\) tại \(N:\frac{BN}{BA}=\frac{2}{3}.\)

Suy ra \(NJ//AD.\) Kéo dài \(NJ\) cắt \(BD\) tại \(P:\frac{BP}{BD}=\frac{2}{3}.\)

Vì tứ diện đều nên \(DI\) là đường cao của tứ diện.

+) \(DJ=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3};{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)

Suy ra: \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.\)

Khi đó: \(\frac{{{V}_{B.MNP}}}{{{V}_{B.CAD}}}=\frac{BM}{BC}.\frac{BN}{BA}.\frac{BP}{BD}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}=\frac{8}{27}\Rightarrow {{V}_{B.MNP}}=\frac{8}{27}{{V}_{B.CAD}}=\frac{8}{27}.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\frac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}.\)