Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích \(V. \) Gọi \(M,N,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(AB,BC,A'D'\) sao cho \(AM=\frac{1}{2}AB,BN=\frac{1}{4}BC,A'P=\frac{1}{3}A'D'. \) Thể tích...

* Hướng dẫn giải

Ta xét lăng trụ tam giác \(ABA'.DCD'\) có thể tích bằng \(\frac{1}{2}V.\)

Kéo dài \(D'N\) cắt \(A'B\) tại \(E.\)

+) \(\frac{EN}{ED'}=\frac{BN}{A'D'}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{D'N}{D'E}=\frac{3}{4};\text{  }\frac{A'B}{EA'}=\frac{D'N}{D'E}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{EA'}{BA'}=\frac{4}{3}.\)

+) \(\frac{{{V}_{D'.A'ME}}}{{{V}_{D'.A'AB}}}=\frac{{{S}_{\Delta MA'E}}}{{{S}_{AA'B}}}=\frac{MB}{AB}.\frac{A'E}{A'B}=\frac{1}{2}.\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow {{V}_{D'.A'ME}}=\frac{2}{3}{{V}_{D'.A'AB}}=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}{{V}_{D'DC.A'AB}}=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{9}V.\)

Vậy \(\frac{{{V}_{D'.PMN}}}{{{V}_{D'.A'ME}}}=\frac{D'P}{D'A'}.\frac{D'M}{D'M}.\frac{D'N}{D'E}=\frac{2}{3}.1.\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{D'.PMN}}=\frac{1}{2}{{V}_{D'.A'ME}}=\frac{1}{18}V.\)