Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(AB=a. \) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}. \) Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) bằ...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\).

Do \(S.ABCD\) là khối chóp tứ giác đều \(\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right).\)

\({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}\Rightarrow \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}.SO.{{a}^{2}}\Rightarrow SO=a\sqrt{2}\).

Ta có: \(d\left( C;\left( SAB \right) \right)=2.d\left( O;\left( SAB \right) \right).\)

Gọi K là trung điểm \(AB,H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(SK.\)

Ta có \(\left. \begin{array}{l} OK \bot AB\\ SO \bot AB \end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SOK} \right) \bot AB \Rightarrow OH \bot AB.\)

\(\left. \begin{array}{l} OH \bot SK\\ OH \bot AB \end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH.\)

Xét tam giác \(SOK\) vuông tại \(O\) có \(OH\) là đường cao.

\(\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{K}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\frac{9}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{2}}{3}.\)

\(\Rightarrow d\left( C;\left( SAB \right) \right)=2.d\left( O;\left( SAB \right) \right)=\frac{2a\sqrt{2}}{3}.\)