Cho hình nón xoay đường sinh \(l=2a. \) Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có một góc bằng \({{120}^{0}}. \) Thể tích \(V\) của khối nón đó là

* Hướng dẫn giải

Gọi \(S\) và \(O\) lần lượt là đỉnh và tâm mặt đáy của hình nón.

Một thiết diện qua trục cắt đường tròn đáy tại hai điểm \(A\) và \(B\) như hình vẽ.

Khi đó tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) có \(\widehat{ASB}={{120}^{0}}.\)

Ta có:

\(SO=SA.\cos \widehat{ASO}=2a.\cos {{60}^{0}}=a.\)

\(AO=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}.\)

Thể tích \(V\) của khối nón đã cho là: \(V=\frac{1}{3}\pi .A{{O}^{2}}.SO=\frac{1}{3}\pi {{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.a=\pi {{a}^{3}}.\)