Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x+1}\left( C \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):y=x+m. \) Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) thuộc khoảng \(\left( -10;10 \right)\) để đường thẳng...

* Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) là

\(\frac{x+2}{x+1}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+m-2=0\left( * \right)\left( x\ne -1 \right)\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm về hai phía trục hoành

\(\Leftrightarrow \) PT (*) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\ne -1\) và \({{y}_{1}}{{y}_{2}}<0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\ {\left( { - 1} \right)^2} + m\left( { - 1} \right) + m - 2 \ne 0\\ \left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 4m + 8 > 0,\forall m\\ - 1 \ne 0\\ {x_1}{x_2} + m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m - 2 + m\left( { - m} \right) + {m^2} < 0\)

\(\Leftrightarrow m<2\)

Vì \(m\in \mathbb{Z}\) và \(m\in \left( -10;10 \right)\) nên \(m\in \left\{ -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1 \right\}.\)

Vậy có 11 giá trị.