Biết phương trình \({{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{2}}+15{{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{x}}={{2}^{x+3}}\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) và \(\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}={{\lo...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left( 3+\sqrt{5} \right)\left( 3-\sqrt{5} \right)=4\Leftrightarrow \frac{3+\sqrt{5}}{2}.\frac{3-\sqrt{5}}{2}=1\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}.\)

Chia hai vế của phương trình cho \({{2}^{x}}>0.\) Ta được \({{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}+15{{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}=8\left( 1 \right)\)

Đặt \(t={{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}>0\Rightarrow {{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}.\left( 1 \right)\) trở thành:

\(t+\frac{15}{t}=8\Leftrightarrow {{t}^{2}}-8t+15=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=3 \\ & t=5 \\ \end{align} \right..\) Suy ra \(\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}={{\log }_{3}}5>1.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 5 \end{array} \right. \Rightarrow 2a + b = 11.\)