Cho các số thực \(x,y\) thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(\frac{2+\sqrt{9{{y}^{2}}+3}}{1+\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}+\frac{4x-2}{3y}=0. \) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=3y+{{x}^{2}}-...

* Hướng dẫn giải

ĐK: \(y\ne 0.\)

Phương trình \(\Leftrightarrow 6y+3y\sqrt{9{{y}^{2}}+3}=\left( 2-4x \right)+\left( 2-4x \right)\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\)

\(\Leftrightarrow 6y+3y\sqrt{9{{y}^{2}}+3}=2\left( 1-2x \right)+\left( 1-2x \right)\sqrt{4{{y}^{2}}-4y+4}\)

\(\Leftrightarrow 2.3y+3y\sqrt{{{\left( 3y \right)}^{2}}+3}=2\left( 1-2x \right)+\left( 1-2x \right)\sqrt{{{\left( 1-2x \right)}^{3}}+3}\)

\(\Leftrightarrow f\left( 3y \right)=f\left( 1-2x \right)\text{ }\left( 1 \right)\) với \(f\left( t \right)=2t+t\sqrt{{{t}^{2}}+3},\forall t\in \mathbb{R}.\)

Có \(f'\left( t \right)=2+\sqrt{{{t}^{2}}+3}+\frac{{{t}^{2}}}{\sqrt{{{t}^{2}}+3}}>0,\forall t\in \mathbb{R}\) nên \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Do đó \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3y=1-2x.\) Suy ra \(P=1-2x+{{x}^{2}}-\sqrt{2}={{\left( x-1 \right)}^{2}}-\sqrt{2}\ge -\sqrt{2}.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = - \frac{1}{3} \end{array} \right..\) Vậy \(\min P=-\sqrt{2}.\)