Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn để hàm số nghịch biến trên khoảng

* Hướng dẫn giải

Ta có:

$g\text{'}\left(x\right)=\left[f\left(1-x\right)\right]\text{'}=\left(1-x\right)\text{'}f\text{'}\left(1-x\right)=-f\text{'}\left(1-x\right)$

$=-{\left(1-x\right)}^2\left(1-x-2\right)\left[{\left(1-x\right)}^2-6\left(1-x\right)+m\right]$

$=-{\left(1-x\right)}^2\left(-1-x\right)\left(x^2+4x+m-5\right)$

$={\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)\left(x^2+4x+m-5\right)$

Hàm số g (x) nghịch biến trên $\left(-\infty ;-1\right)$

$\iff g\text{'}\left(x\right)\le 0,\forall x\in \left(-\infty ;-1\right)\iff \left(x+1\right)\left(x^2+4x+m-5\right)\le 0,\forall x\in \left(-\infty -1\right)$

$\iff x^2+4x+m-5\ge 0,\forall x\in \left(-\infty -1\right)$ (do $x+1<0,\forall x\in \left(-\infty -1\right)$)

$\iff h\left(x\right)=x^2+4x-5\ge -m\forall x\in \left(-\infty ;-1\right)$

Ta có:  $h\text{'}\left(x\right)=2x+4=0\iff x=-2$

BBT:

Dựa vào BBT ta có:  $-m\le -9\iff m\ge 9$

Mà $m\in \left[-2019;2019\right]$ và m nguyên nên $m\in \left[9,10,11,...,2019\right]$ hay có $2019 - 9 + 1 = 2011$ giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C